El concepto de algoritmo. Al-Waritzmi

Juan Antonio Aflaro Martínez

Abū Ja’far Muhammad ibn Mūsa al-Khwārizmī (أبو عبد الله محمد بن موسى الخوارزمي ابو جعفر) conocido generalmente como al-Juarismi, fue un matemático, astrónomo y geógrafo musulman de origen supuestamente persa y que vivió aproximadamente entre 780 y 850.

Su nombre que puede verse escrito de muchas maneras diferentes, se debe a la libre transcripción del árabe a los distintos idiomas del alfabeto latino.

Su origen ha sido puesto en duda varias veces. Algunos dicen que nació en Bagdad y otros en la ciudad corasmia de Jiva, en el actual Uzbekistán.

De él y su obra provienen las palabras álgebra, guarismo y algoritmo (cuyo origen de la palabra se verá en este texto más tarde). Padre del álgebra y de nuestro sistema de numeración arábigo.

Un algoritmo se puede describir como “un conjunto prescrito de instrucciones o reglas bien definidas, ordenadas y finitas que permite realizar una actividad mediante pasos sucesivos que no generen dudas a quien deba realizar dicha actividad. Dados un estado inicial y una entrada, siguiendo los pasos sucesivos se llega a un estado final y se obtiene una solución. Los algoritmos son el objeto de estudio de la algoritmia.”.

Obra

Se conoce que escribió al menos las siguientes obras:

·         Kitāb al-Mukhtasar fī hisāb al-jabr wa’l-muqābala (Libro conciso de cálculo de restauración y oposición).

·         Kitāb al-hisāb al-‘adad al-hindī (Libro del cálculo con los números hindúes).

·         Kitāb al-jamc wa’t-tafrīq (Libro de la reunión y de la separación).

·         Kitāb sūrat al-ard (Libro de la configuración de la tierra).

·         Istikhrāj ta’rīkh al-Yahūd (Determinación del calendario judío).

·         Zīj as-Sindhind (Tablas hindúes)

·         Macrifa sica al-mashriq fī kull balad (Determinación de la amplitud ortiva en cada ciudad).

·         Macrifa samt min qibal al-irtifāc (Determinación del azimut según la altitud).

·         ‘Amal sica ayy mashriq shi’ta min al-burūj fī ayy ard shi’ta bi’lhandasa (Construcción geométrica de la amplitud ortiva de cada signo y para cada latitud).

·         ‘Amal al-sācāt fī basīt al-rukhāna (Construcción de las horas en el plano del cuadrante solar).

·         Tarā’if min camal Muhammad ibn Mūsā al-Khwārizmī: macrifat al-samt bi-al-asturlab (Nuevas adquisiciones de Muhammad ibn Mūsā al-Khwārizmī: el conocimiento del azimut mediante el astrolabio).

·         Kitāb cAmal al-asturlāb (Libro sobre la realización del astrolabio).

·         Kitāb al-rukhāma (Libro sobre el cuadrante solar).

·         Kitāb al-cAmal bi’l-asturlāb (Libro sobre la utilización del astrolabio).

·         Kitāb al-Tārīkh.

Muchos de ellos perdidos y de los que no se disponen los originales. Algunos de ellos solo se conocen de listados de libros de la época.
De los libros Kitāb al-Mukhtasar fī hisāb al-jabr wa’l-muqābala (Libro conciso de cálculo de restauración y oposición) y Kitāb al-hisāb al-‘adad al-hindī (Libro del cálculo con los números hindúes)  que es del que proviene principalmente la palabra algoritmo es en los que me voy a centrar.

El libro  conciso de cálculo de restauración y oposición

De este libro si se conservan copias árabes. Se sabe que fue escrito entre 813 y 833 porque esta dedicado al califa al-Ma’mūn.

Luego de presentar los números naturales, al-Juarismi aborda la cuestión principal en la primera parte del libro: la solución de ecuaciones. Sus ecuaciones son lineales o cuadráticas y están compuestas de unidades, raíces y cuadrados.

Sigue la prueba geométrica por compleción del cuadrado. Continúa examinando cómo las leyes de la aritmética se extienden a sus objetos algebraicos. Por ejemplo, muestra cómo multiplicar expresiones como (a + bx)(c + dx).

La parte siguiente consiste en aplicaciones y ejemplos. Describe reglas para hallar el área de figuras geométricas como el círculo, y el volumen de sólidos como la esfera, el cono y la pirámide. Esta sección, ciertamente, tiene mucha mayor afinidad con los textos hebreos e indios que con cualquier obra griega. La parte final del libro se ocupa de las complejas reglas islámicas de herencia, pero requiere poco del álgebra que expuso anteriormente, más allá de la resolución de ecuaciones lineales.

El libro de cálculo hindú

De este libro, por desgracia, y como en la mayoría de las obras de al-Juarismi no se conserva copia árabe del libro. Lo que ha llegado a nuestros días es un compendio en latín de obras que provienen y adaptan el contenido del libro original. Las obras en cuestión son:

·         Dixit Algorizmi (Dijo al-Khwārizmī).

·         Liber Ysagogarum Alchorismi (Libro de la introducción de al-Khwārizmī).

·         Liber Alchorismi (Libro de al-Khwārizmī).

·         Liber pulueris (Libro de polvo).

De los cuales se considera que el primero es el que menos variaciones e introducciones se han producido en la obra original de al-Juarismi.

En esta obra se describen con detalle los números arábigos, el sistema indio de numeración posicional en base 10 y métodos para hacer cálculos con él. Se sabe que había un método para encontrar raíces cuadradas en la versión árabe, pero no aparece en la versión latina. Posiblemente fue el primero en utilizar el cero como indicador posicional.
Este sistema se empezó a conocer como «el de Al-Khowarizmi» y, por las deformaciones que tuvo, bien por transmisión o por traducción, llegó a la palabra «algorismi», «algorismo» o «algoritmo».

Bibliografía:

http://es.wikipedia.org/wiki/Al-Juarismi

http://es.wikipedia.org/wiki/Algoritmo

http://www.uv.es/puigl/historias58.pdf

http://www.uv.es/puigl/historias59.pdf

http://www.uv.es/puigl/historias60.pdf
http://normakerwin.blogspot.com.es/2009/02/el-origen-de-la-palabra-algoritmo-en.html

El problema del Castor Laborioso

El problema de castor laborioso

Todos conocemos la constancia que los castores son capaces de mantener a la hora de elaborar sus famosas presas para así poder detener el flujo de la corriente y crear un estanque de aguas tranquilas donde poder construir sus madrigueras.

 

Esta idea de la consistencia del castor tuvo que ser la que llevo al matemático de origen húngaro Tibor Radó (1895-1965) a bautizar como el juego del castor laborioso o afanoso a cierto problema que planteo para una máquina de Turing.

Planteamiento del problema

Fue en mayo de 1962 cuando definió que un “castor laborioso” es una máquina de Turing que cumple dos condiciones:

1.   Al poner al castor en funcionamiento sobre una cinta totalmente ocupada por ceros, esta termina deteniéndose.
2. El número de unos que imprime no es inferior al que pueda imprimir cualquier máquina de Turing de igual número de estados que llegue a detenerse. Este número de unos se denomina como Σ(N).

La definición original del Castor Laborioso es una máquina de Turing en formato de quíntupla con N+1 estados (N estados y el estado final de parada). El alfabeto de la cinta tiene dos símbolos Γ Є{ blanco, 1 } y el alfabeto de entrada solo uno Π = { 1 }. La productividad de una MT se representa como el numero de 1’s  que tiene el resultado, a partir de una cinta en blanco, cuando esta se detiene. Las MT que no se detienen se les consideran con productividad de cero. Σ(N) se define como la máxima productividad que se puede obtener a partir de una máquina de Turing de N estados

¿Para qué se usa un castor laborioso?

 En 1936 Turing definió las máquina de Turing como un modelo universal de cómputo en el que todas las funciones calculables imaginables pueden ser calculadas por un ellas. Entonces, ¿cómo encontramos una función que no sea calculable? Aquí es donde entra el castor laborioso ya que Tibor demostró que si f:Nà N es una función computable existe Σ(n)>f(n) para toda n suficientemente grande, y por lo tanto Σ no es una función computable.

Soluciones

El problema que nos encontramos al estudiar el castor laborioso es que este crece más deprisa que cualquier función computable, es decir que no es computable. Por ejemplo se conocen los valores para Σ(1)=1, Σ(2)=4, Σ(3)=6, Σ(4)=13. Pero a medida que el número de estados aumenta el problema se va volviendo más complicado.

Castor Laborioso para 1 estado.

Castor Laborioso para 2 estados.

Castor Laborioso para 3 estados.

Castor Laborioso para 4 estados.

Las técnicas usadas actualmente para N>4 solo llevan a cabo una búsqueda parcial en el espacio de soluciones, buscando MT que establezcan un límite inferior mejor para el valor de Σ(N). Por ejemplo Marxen estableció Σ(5)>=4098. Otros estudios han conseguido establecer estos límites inferiores para un Σ(7)>=102 mediante algoritmos genéticos y escalada de la colina. 

Como podemos observar se trata de un problema no computable para N altos el cual sigue sin resolución tras 52 años de su planteamiento y por lo que parece ser seguirá así tras varios años más.

Martín Cambronero Honrubia

Bibliografía

http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/history/Biographies/Rado.html

http://cala.unex.es/cala/epistemowikia/index.php?title=Castor_Afanoso/Problema_Castor_Afanoso

http://blog.txipinet.com/2006/07/30/11-en-los-limites-de-lo-calculable-maquinas-de-turing-y-castores-laboriosos/

http://www.win.tue.nl/~wijers/shallit.pdf

Como podríamos pensar – Vannevar Bush

José Molina Gracia, estudiante de Grado en Ingeniería Informática - UCLM

Vannevar Bush publicó en julio de 1945, un artículo llamado ‘As we may think’ en la revista Atlantic Monthly de Boston. Este artículo introduce, por primera vez, el concepto de hipertexto de forma muy similar a como la conocemos hoy. Plasmó una crítica muy interesante sobre el estado la sociedad científica tras la Segunda Guerra Mundial y propuso ideas sobre posibles avances tecnológicos y sus efectos.

Para entender mejor este artículo, debemos comprender su contexto: debemos saber quién fue Vannevar Bush y analizar la época en que fue publicado, el tramo final de la Segunda Guerra Mundial.

Vannevar Bush

Nació en 1890 en Everett, Massachussets. Tuvo una juventud enfermiza en la que ya demostró gran capacidad para las matemáticas. Estudió ingeniería en el Tufts College de Harvard y más tarde trabajó como ingeniero en General Electric. Continuó sus estudios y ejerció la docencia en el MIT y en Harvard, donde trabajó en tareas de fabricación de dispositivos ópticos y composición fotográfica, sistemas de almacenamiento, microfilms…

Durante esta época, Bush consiguió destacados logros:

• Siendo estudiante, realizó su primer invento, un dispositivo topográfico (Profile Tracer), para medir distancias en terrenos desiguales.
• Durante la Primera Guerra Mundial, colaboró con las fuerzas armadas norteamericanas en la creación de un sistema de detección de submarinos.
• Desarrolló el primer computador analógico en 1930, cuando trabajaba en departamento de ingeniería eléctrica del MIT, al que llamó Analizador Diferencial. Se trataba de una calculadora electromecánica que resolvía ecuaciones diferenciales de hasta dieciocho variables independientes y representaba los números mediante tensiones de voltaje variable.

Sus numerosos méritos provocaron su ascenso profesional. En 1939 es nombrado presidente del Carnegie Institue de Washington y director del National Advisory Committee for Aeronautics (NACA), que más tarde se convertiría en la NASA.

Bush, consciente de los problemas de coordinación que hubo entre los científicos en la anterior guerra mundial, presenta directamente un escrito al presidente Roosevelt en 1940, en el que proponía la creación de una agencia para “supervisar y conducir los recursos científicos para el desarrollo de dispositivos militares”. Roosevelt le autorizó inmediatamente y le convirtió en director de este Comité de Investigación de la Defensa Nacional”.

Desde este puesto, creó la Office of Scientific Research and Development, una agencia del gobierno que coordinaba la investigación científica para fines militares durante la 2ª G.M, que llegó a juntar más de 6000 científicos, y cuyos proyectos fueron, entre otros: misiles dirigidos, la creación del radar, o el Proyecto Manhattan, que desarrolló la bomba atómica.

Antes del fin de la guerra y de que fueran lanzadas las bombas atómicas sobre Hiroshima y Nagasaki, Vannevar Bush publicó el artículo “Cómo podríamos pensar”.

Cómo podríamos pensar

Como he comentado al principio de la entrada, el artículo “Cómo podríamos pensar” fue publicado en la revista Atlantic Monthly, hace casi 70 años y su repercusión más importante ha sido la introducción del concepto de hipertexto, que más tarde fue desarrollado por personas inspiradas por este artículo: Ted Nelson y su Proyecto Xanadú (1960), Douglas Engelbart, o más destacadamente y de forma más tardía, Tim Berners-Lee, considerado uno de los padres de la Web.

Yo me he basado en la traducción al español publicada por la Revista de Occidente en marzo de 2001, que se puede consultar aquí, para hacer un resumen de los aspectos más importantes. El artículo original (en inglés) podemos consultarlo mediante un hiperenlace como éste. 

Estas son las ideas más importantes que se pueden extraer del artículo:

La labor científica durante la guerra fue especialmente fructífera cuando los científicos se pusieron de acuerdo para trabajar en aras de un proyecto común. La profesión de los físicos, a diferencia de otras, se ha visto bruscamente apartada de su camino habitual para elaborar artefactos de guerra, pero Bush se pregunta a qué se dedicarán a partir de ese momento, ya que su campo de trabajo ha abierto un abanico de especialidades.

Los avances científicos y tecnológicos han beneficiado al ser humano en su relación con el entorno y el conocimiento sobre sí mismos. También les ha proporcionado formas de comunicación a distancia y muy veloces. Les ha dado también la posibilidad de almacenar el conocimiento, de forma que evolucione y perdure a través de toda la existencia del género humano.

Cada vez existe mayor especialización en todas las materias, y el investigador es incapaz de abarcar todas ellas. Aunque defiende que la especialización es necesaria para el progreso. No hay tiempo para leer todas las obras científicas de forma detallada para enterarse de los avances de otras personas. Los métodos para transmitir y consultar los resultados de las investigaciones se han quedado obsoletos, un ejemplo, son las leyes de la genética de Mendel que se perdieron durante toda una generación en un mar de descubrimientos. Por decirlo con otras palabras, se está llegando a un grado de sobreinformación.

Van surgiendo instrumentos que podrían acabar con esta situación: células fotoeléctricas que pueden ver los objetos en un sentido físico, fotografía que puede registrar incluso lo que no ve, potentes válvulas que aumentan la fuerza y la velocidad de la energía y de una forma muy fiable.

Hace dos siglos Leibniz ideo una máquina calculadora similar a las actuales, pero no pudo construirla por la escasez de medios y la complejidad de sus componentes y reparación. Incluso Charles Babbage, un siglo después tuvo los mismos problemas para construir su máquina aritmética. En la época en que Bush escribió el artículo, esto ya no era un problema. La producción de componentes se había automatizado y abaratado sus costes, y de igual forma también había aumentado su fiabilidad.

Bush piensa que es posible aplicar estos nuevos inventos a nuevas formas de consulta de información para hacerlas más eficientes.

Para que un archivo resulte útil a la ciencia, debe estar en continua ampliación y con la posibilidad de ser consultado. Un archivo se puede crear por medio de la escritura, la fonografía, la fotografía y puede ser almacenado, en papel, discos magnéticos, microfilms… medios en actual desarrollo.

Existen avances en estos campos que Vannevar augura:

•  En la fotografía por ejemplo, se prevén películas de grano más fino, lentes de foco universal, cámaras de pequeño tamaño con una célula fotoeléctrica que ajuste la exposición automáticamente, disparadores muy veloces, fotografía seca (como las de la Polaroid) y en color, cámaras estereoscópicas (imágenes en 3D). Con estas características, los científicos podrían capturar fácilmente en su laboratorio todos sus avances. Un ejemplo de cómo sería esta mini-cámara es la de la fotografía que encabeza el artículo original.
• Elabora un concepto de fotografía eléctrica en seco, parecido al de fotografía digital que tenemos hoy, basándose en el funcionamiento del teleautógrafo (el precursor del fax), que funciona de forma similar al telégrafo. Pero en este caso sería una célula fotoeléctrica la que examinase la escena real y transmitiese las señales a un papel fotográfico especial que grabase estas señales eléctricas. De forma parecida a como funciona la televisión de rayos catódicos, pero para imágenes estáticas.
• La microfotografía también está en proceso de expansión. Se prevé que los microfilms puedan reducirse a un factor de uno a cien y que sean mucho más delgados, y su película de grano más fino, de forma que una enciclopedia pudiese caber en una caja de cerillas y fuese muy barato producirla.
• Otro aspecto del artículo a destacar, es la forma en que registramos nuestras ideas. Bush se pregunta si el autor del futuro dejará de escribir a mano para hablar directamente con el archivo. Ya entonces existían máquinas como el Voder (emitía palabras reconocibles con una voz de origen eléctrico), o su opuesto, el Vocoder, que capturaba el sonido y lo traducía en palabras.
• Bush imagina a un investigador del futuro, que puede moverse libremente por su laboratorio, sin anclarse de ninguna forma y registrando todos los datos mediante la captura de voz que se transmita por ondas de radio, y con mini-cámaras que almacenasen la información en pequeños microfilms.

Ya que hemos visto cómo podría solucionarse el problema de almacenamiento y recolección de información. Habría que tratar el otro gran problema: la extracción.

•  Bush cree que no puede existir sustituto mecánico al pensamiento maduro y al pensamiento creativo, pero si al pensamiento repetitivo. Existen potentes calculadoras que son capaces de leer texto impreso (programa) y ejecutar sus operaciones automáticamente, como por ejemplo, las máquinas de tarjetas perforadas. Si a estas máquinas se les aplicase el uso de electricidad y componentes relacionados, aumentaría enormemente su velocidad, y ayudaría a resolver rápidamente tareas complicadas.
• Las máquinas no sólo se tienen que ver limitadas a realizar operaciones aritméticas, si no que podrían encargarse de tareas lógicas más complejas, cómo su máquina para resolver ecuaciones diferenciales. Es necesario reflejar procesos lógicos que puedan ejecutarse de forma repetitiva y dejar las labores aritméticas a las máquinas para evitarnos trabajos muy laboriosos y poco fructíferos.
• Vannevar Bush introduce la idea de computarizar la lógica matemática, de una forma parecida a como lo haría el lenguaje PROLOG. Cree que se podrían extraer argumentaciones lógicas de las máquinas de forma muy sencilla, si se le introdujesen conjuntos de premisas.
• La selección de información consiste en la extracción de información dadas unas determinadas entradas, de la misma  forma que lo haríamos con una base de datos de las que conocemos hoy en día. Con el uso de microfilms y células fotoeléctricas se podría aligerar mucho el proceso. Es más, en vez de comprobar uno a uno los registros, se podrían desencadenar procesos con cada argumento de la entrada, de forma que fuese una búsqueda progresiva en profundidad, desechando la información que no necesitamos explorar.
• Para ejemplificar este modelo, utiliza el caso de unos grandes almacenes, que tuviera una base de datos de todos los clientes, de los artículos y de los empleados, y cuando se introdujesen en la máquina los datos necesarios, las tarjetas fueran seleccionadas y extraídas. Se podría mecanizar de forma más eficiente con: microfilms, fotografía seca y células fotoeléctricas (por supuesto), y mediante válvulas, que evitan el uso de piezas mecánicas. Se podrían anotar las tarjetas y volverlas a introducir en el sistema. Este sistema sería muy eficaz para las bibliotecas. Vannevar deja entrever una idea más que interesante: todo un sistema de gestión de bases de datos.
• Los sistemas de indización también están obsoletos, el orden alfabético y numérico es engorroso a la hora de buscar. Nuestro cerebro busca información de forma más rápida mediante la asociación de ideas: cuando un elemento se encuentra a su alcance, salta inmediatamente al siguiente pensamiento. Aunque la memoria sea temporal y menos precisa, es más rápida. La selección por asociación también podría ser mecanizada.

Este es el punto donde entra su idea principal. Con todo lo que ha expuesto en el artículo, ya podemos darnos una idea de cómo funcionaría un sistema que unificase todos los ingenios anteriormente citados y para qué fines podríamos usarlo:

El “memex”

Es una contracción de los términos “MEMory EXtender”. Se trataría de un archivo privado, mecanizado y biblioteca, donde una persona almacenaría todos sus archivos y comunicaciones y mecanizado para que todo pueda ser consultado con velocidad y flexibilidad.

Video sobre el funcionamiento del memex

En el video se puede observar todo lo que esta expresado en torno al posible funcionamiento del memex: dos pantallas translucidas-visores- para proyectar el material, un control de teclado y palancas para desplazarse entre la información, un archivo de microfilms que almacene toda la información, un escáner mediante fotografía en seco para guardar notas, y, al fin el concepto más relevante, el de hipertexto.

El proceso de enlazar dos archivos distintos de forma inmediata introduciendo el código de otro archivo en uno de ellos. El usuario puede crear senderos de información, enlazando los archivos de forma permanente. De esta forma, Bush ha creado la indización asociativa, que se ha comentado anteriormente. Cree que esta ocurrencia podría tener enormes repercusiones en profesiones como la abogacía, que permitiría enlazar casos, el registro de marcas y patentes, medicina, química, historia… Podrían hacerse enormes archivos asociando unos elementos con otros, que relacionasen todo el conocimiento de la Humanidad.

“Con ello no intento profetizar sino únicamente insinuar, pues una profecía basada en una ampliación de lo conocido posee sustancia, mientras que una basada en lo desconocido no constituye más que una apuesta de carácter doble.”

Para finalizar su artículo, Vannevar Bush imagina inventos, que bien podrían ser  de ciencia-ficción, que podrían cambiar drásticamente nuestra vida:

• Establece una analogía entre la información que recibe el ojo humano y la de las células fotoeléctricas y pudiésemos “pinchar” el flujo de información de igual forma a como se pincha una comunicación telefónica.
• Capturar los impulsos nerviosos de nuestro cerebro e interpretarlos para transformarlos en vibraciones mecánicas y activar máquinas. Sería muy interesante para personas sin movilidad.

“El espíritu humano se elevaría enormemente si fuésemos capaces de consultar nuestro oscuro pasado y de analizar con más completitud y objetividad los problemas presentes.”

Bush tiene una visión optimista del ser humano, y cree que la capacidad de controlar su información le hará evolucionar y aumentar su sabiduría, manteniendo el contacto con todas las experiencias de la raza humana. Afortunadamente, aún no había visto lo que la bomba atómica podía hacerle a la raza humana…

Bibliografía

1. Vannevar Bush, la ciencia, una frontera sin límites - Fernando Cuartero
2. Vannevar Bush y el memex. Cómo se invento el futuro - Daniel Tubau
3. Traducción del artículo "As we may think" 

Al-Juarismi

David González Rodríguez

Biografía

Abu Abdallah Muḥammad ibn Mūsā al-Jwārizmī (Abu Yāffar) (أبو عبد الله محمد بن موسى الخوارزمي ابو جعفر), conocido generalmente como al-Juarismi, fue un matemático, astrónomo y geógrafo persa^1 2musulmán, que vivió aproximadamente entre 780 y 850.

Poco se conoce de su biografía, a tal punto que existen discusiones no saldadas sobre su lugar de nacimiento. Algunos sostienen que nació en Bagdad. Otros, siguiendo el artículo de Gerald Toomer³ (a su vez, basado en escritos del historiador al-Tabari) sostienen que nació en la ciudad corasmia de Jiva, en el actual Uzbekistán.

 

Debemos a su nombre y al de su obra principal, "Hisāb al-ŷabr wa'l muqābala", (حساب الجبر و المقابلة) nuestras palabras álgebra, guarismo y algoritmo. De hecho, es considerado como el padre del álgebra y como el introductor de nuestro sistema de numeración denominado arábigo.

Libros que escribió Al-juarismi

-El más importante de todos, “Álgebra” (825), es el libro más antiguo sobre álgebra. En él expone la resolución de ecuaciones, en especial de segundo grado, pero no emplea ningún tipo de simbología, ni para los números.

-“Tablas astronómicas”, incluyen algoritmos para calcular fechas y las primeras tablas y las primeras tablas conocidas de las funciones seno y cotangente.

-“Aritmética”, en el que explica el funcionamiento del sistema métrico decimal y del cero usado en la India.

-“Libro sobre el calendario”

-“La imagen de la tierra” corrigiendo la estimación por exceso de Tolomeo sobre la longitud del Mar Mediterráneo, así como precisando y describiendo la geografía de Asia y África

-“Libro sobre vectores astronómicos”

Con su Kitab al-yabr wa-l-muqabala o Libro del álgebra (literalmente, Libro de la reducción, o bien "de la integración" o "compensación"), al-Jwarizmi inició la literatura matemática de los musulmanes. Este libro ejerció grandísima influencia en los matemáticos europeos hasta el siglo XV. Con esta obra de al-Jwarizmi, el álgebra penetra por primera vez en el mundo musulmán, después de haber recorrido un largo camino que desde Babilonia la había llevado a la India y a Grecia.

De la popularidad de este libro dan prueba dos términos de nuestro más común lenguaje matemático. En primer lugar, la palabra "algoritmo", que hoy, después de haber pasado por varios significados, indica un "procedimiento constante de cálculo" y que deriva evidentemente del nombre de al-Jwarizmi (igualmente la palabra "guarismo"). Y en segundo lugar, la misma palabra "álgebra", introducida en Occidente por medio de este tratado árabe, en el que el término "al-yéber" designa la conocida operación por la que un término pasa de un miembro a otro de una ecuación, cambiando de signo. En realidad, esa palabra tiene su raíz más antigua en la forma babilónica "gabru-inaliaru" que significa "parangonar", "confrontar", "poner en ecuación".

Álgebra:

Es un libro histórico de matemáticas escrito en árabe entre 813 y 833 d.C. por el matemático y astrónomo musulmán Al-Juarismi.

En esta obra, Al-Juarismi expone los cimientos del álgebra, siendo el primero en estudiar sistemáticamente la resolución de ecuaciones de primer y segundo grado. La palabra álgebra se deriva de una de las operaciones básicas con ecuaciones (al-ğabr) descritas en este libro.

Por primera vez, encontramos reunidos en una misma obra un conjunto de elementos (definiciones, operaciones, algoritmos, demostraciones) que estaban hasta entonces desperdigados y sin relación entre ellos, o bien no formulados explícitamente, e independientes de las cuestiones tratadas.

Resolución de ecuaciones

Luego de presentar los números naturales, al-Juarismi aborda la cuestión principal en la primera parte del libro: la solución de ecuaciones. Sus ecuaciones son lineales o cuadráticas y están compuestas de unidades, raíces y cuadrados; para él, por ejemplo, una unidad era un número, una raíz era   y un cuadrado  . Aunque en los ejemplos que siguen usaremos la notación algebraica corriente en nuestros días para ayudar al lector a entender las nociones, es de destacar que al-Juarizmi no empleaba símbolos de ninguna clase, sino sólo palabras.

Primero reduce una ecuación a alguna de seis formas normales:

1. cuadrados igual a raíces (ax² = bx)
2. cuadrados igual a números (ax² = c)
3. raíces igual a números (bx = c)
4. cuadrados y raíces igual a números (ax² + bx = c), por ejemplo 
5. cuadrados y números igual a raíces (ax² + c = bx), por ejemplo 
6. raíces y números igual a cuadrados (bx + c = ax²), por ejemplo 

La reducción se lleva a cabo utilizando las operaciones de al-ŷabr ("compleción", el proceso de eliminar términos negativos de la ecuación) y al-muqabala ("balanceo", el proceso de reducir los términos positivos de la misma potencia cuando suceden de ambos lados de la ecuación). Luego, al-Juarismi muestra cómo resolver los seis tipos de ecuaciones, usando métodos de solución algebraicos y geométricos. Por ejemplo, para resolver la ecuación  , escribe:

... un cuadrado y diez raíces son iguales a 39 unidades. Entonces, la pregunta en este tipo de ecuación es aproximadamente así: cuál es el cuadrado que, combinado con diez de sus raíces, dará una suma total de 39. La manera de resolver este tipo de ecuación es tomar la mitad de las raíces mencionadas. Ahora, las raíces en el problema que tenemos ante nosotros son diez. Por lo tanto, tomamos 5 que multiplicadas por sí mismas dan 25, una cantidad que agregarás a 39 dando 64. Habiendo extraído la raíz cuadrada de esto, que es 8, sustraemos de allí la mitad de las raíces, 5, resultando 3. Por lo tanto el número tres representa una raíz de este cuadrado.

Los matemáticos musulmanes, a diferencia de los hindús, no consideraban números negativos, de aquí que las ecuaciones del tipo bx + c = 0 no aparezcan en la clasificación, pues no poseen soluciones positivas si todos los coeficientes son positivos. Análogamente, los tipos 4, 5 y 6, que parecen equivalentes desde la perspectiva moderna, eran distinguidos dado que los coeficientes debían ser todos positivos

Biografía

http://es.wikipedia.org/wiki/Al-Juarismi

http://www.biografiasyvidas.com/biografia/j/jwarizmi.htm

http://es.scribd.com/doc/36085911/Biografia-de-Al-juarismi

http://es.wikipedia.org/wiki/Compendio_de_c%C3%A1lculo_por_compleci%C3%B3n_y_comparaci%C3%B3n

 

VANNEVAR  BUSH - COMO PODRÍAMOS PENSAR

Nació el 11 de marzo de 1890 en Everett, Massachusetts y estudió en el Tufts College de la Universidad de Harvard y en el Instituto de Tecnología de Massachussetts (MIT), donde más tarde desempeñó diversos cargos docentes y administrativos. En la escuela demostró una gran aptitud para las matemáticas. Desde pequeño ya era un alumno aventajado y en 1913 construyó una máquina que servía para calcular distancias entre terrenos desiguales a la que llamó Profile Tracer. 

En 1919, se une al Departamento de Ingeniería Eléctrica del MIT, donde ejerció la docencia durante 12 años (en total estuvo 25 años como docente). Trabajó en tareas como la fabricación de dispositivos ópticos y de composición fotográfica, de sistemas de almacenamiento y recuperación de microfilms.

Ya en 1927 construyó un analizador diferencial y la que se considera la primera computadora analógica, que ya podría resolver ecuaciones diferenciales lo que le valió obtener la Medalla Franklin.

Posteriormente accedió al puesto de vicepresidente del National Advisory Committe for Aeronautics (NACA), que fue el predecesor de la NASA, y que presidió poco después.

Al poco fue director del National Defense Research Committe (NDRC), donde se desarrollaron artilugios para la defensa del país en la Segunda Guerra Mundial, coordinando a más de seis mil  científicos de todo el país. Entre los primeros inventos de este comité destaca un radar aerotransportado basado en la tecnología de microondas, a partir del cual surgió el electrodoméstico que conocemos como microondas.

Fue uno de los dirigentes del Proyecto Manhattan. El Proyecto Manhattan fue el nombre en clave de un proyecto científico llevado a cabo durante la Segunda Guerra Mundial por los Estados Unidos con ayuda parcial del Reino Unido y Canadá. El objetivo final del proyecto era el desarrollo de la primera bomba atómica antes de que la Alemania nazi la consiguiera. Para llevar a cabo la investigación científica, Vannevar Bush escogió al físico Julius Robert Oppenheimer. El primer ensayo atómico exitoso ocurrió en el desierto de Alamogordo, en Nuevo México el 16 de julio de 1945.

En este mismo año de 1945, publicó dos artículos que marcarían un antes y un después en la sociedad a diferentes niveles: “As We May Think” y “Science, The endless frontier”.

"Como podríamos pensar" con título original "As We May Think", fue publicado en Julio de 1945 en “The Atlantic Monthy”, un mes antes de acabar la segunda guerra mundial. En este significativo artículo Bush trata de buscar un incentivo para esos científicos una vez que la guerra está a punto de terminar, exhortándolos a inclinar sus esfuerzos a la masiva tarea de hacer más accesible la apabullante reserva de conocimiento de la raza humana. Durante años, las invenciones de la humanidad han servido para aumentar el poder físico de las personas y no su poder mental. Así, los martillos neumáticos que multiplican la fuerza de sus puños; los microscopios que agudizan la visión y los artilugios de detección y destrucción constituyen los nuevos resultados, apero no los resultados finales de la ciencia. Vannevar Bush afirmaba que disponían de instrumentos que desarrollados de manera adecuada, puedían proporcionar al género humano el acceso y el control sobre el conocimiento que heredado a lo largo de eras. El perfeccionamiento de estos instrumentos de paz debería constituir el objetivo primordial de esos científicos ahora que dejaban atrás sus esfuerzos en el terreno bélico. 

En el artículo comenta que ya por esa época se podían construir máquinas de piezas intercambiables con gran economía de esfuerzo y grado de confiabilidad, por más complejo que sea su diseño. Como testigos están la humilde máquina de escribir, la cámara de cine o el automóvil.

Bush pensaba que  para que el registro de algo resulte útil a la ciencia, ha de estar en continua ampliación, almacenado convenientemente en algún lugar y sobre todo, ha de poder ser consultado. Por esa época, podían efectuar registros gracias a la escritura y la fotografía y, en menor grado, a la impresión. 

Se planteó la posibilidad de trabajar con fotografía en seco, describiendo un proceso en el que por medio del uso de ciertas sustancias químicas, se podría oscurecer puntos del papel en donde un flujo electrostático lo toca. Esto se conseguía por la transformación química que el campo eléctrico produce sobre una sustancia derivada del iodo, contenida en la emulsión.  Describe lo que podría ser el proceso completo, el cual dio origen a dos tecnologías: la del fax y la de la fotocopia.

Al igual que con la fotografía en seco, apostaba con que la microfotografía también tenía un largo camino por recorrer. El concepto básico de reducir el tamaño de un archivo, para examinarlo posteriormente mediante proyección en vez de la simple vista, auguraba posibilidades demasiado amplias como para ser ignoradas. Pese a que en esa época con el microfilm se podrían emplear reducciones a razón de uno a veinte sin que ello afectase a la claridad de la imagen, era consciente de que los límites venían impuestos por el grano de la película, la calidad del sistema óptico y la eficiencia de las fuentes de luz utilizadas, pronosticando que se alcanzaría un factor de reducción de diez mil a uno entre una página de libro y su réplica en microfilm.

Vannevar Bush observó que eran capaces de continuar ampliando indefinidamente la extensión de un archivo, pero no mejoraban en la capacidad de consultarlo. Este era un aspecto que iba mucho más allá de la simple extracción de datos para la investigación científica; tiene que ver con la manera en la cual el ser humano saca beneficio de su herencia de conocimientos adquiridos. La acción primaria más relevante es la selección. Escribió el siguiente ejemplo: “Podríamos tomar en consideración millones de pensamientos de gran valor y la suma de experiencias en que se basan, y juntar todo ello dentro de cuatro paredes de forma arquitectónica aceptable, pero si el erudito, tras una empeñosa búsqueda, sólo pudiese acceder a uno de ellos por semana, lo más probable sería que sus síntesis no estuviesen a la altura de las exigencias de su época.”

Bush fue dio un paso más, observando que el verdadero problema de la selección, residía en la artificialidad de los sistemas de indización. Por entonces, cuando se almacenaban datos de cualquier tipo, se archivaban en orden alfabético o numérico, y la información se localiza (cuando se logra), siguiéndole la pista descendiendo a través de clases y subclases. Como la información se encontraba en un único sitio, a menos que se utilicen duplicados de ella, debía disponerse de ciertas reglas para localizarla a través de una ruta; reglas que por cierto resultaban ineficientes y engorrosas. Además, una vez que se encontraba uno de los elementos buscados, se debe salir del sistema hasta el primer nivel y seguir una nueva ruta para buscar otro elemento. 

La mente humana no funciona de esa manera, ella opera por medio de la asociación. Cuando tiene un elemento a su alcance, salta instantáneamente al siguiente que es sugerido por la asociación de pensamientos, de acuerdo a una intrincada red de senderos de información que poseen las células del cerebro, proporcionando una velocidad de acción que según Bush, debería ser el camino a seguir para solventar el problema al que se enfrentaban.

Con todo lo planteado hasta el momento Bush imaginó un artilugio para uso personal, el cual es una especie de archivo privado mecanizado y biblioteca a la vez al que denominó MEMEX “memory extender” o “extensor de la memoria”. Un memex es entonces un dispositivo en el cual un individuo almacena todos sus libros, registros y comunicados, y está automatizado de tal forma que puede ser consultado con enorme velocidad y flexibilidad. Es una adición enorme e íntima a su propia memoria.

Consiste en un escritorio, pero es al mismo tiempo un artilugio que puede usarse como una estación de trabajo a la vez que puede ser operado a control remoto. En la parte superior cuenta con pantallas translúcidas, en las cuales el material puede ser desplegado para una conveniente lectura. Hay un teclado, y grupos de botones y palancas; por lo demás su aspecto es el de un escritorio ordinario. 

En un extremo se encuentra el material almacenado para consulta. No hay problema por lo voluminoso de la información ya que esta reside en microfilm mejorado. Aun si el usuario introdujera 5000 páginas diarias de materiales le tomaría cientos de años llenar el repositorio, así que puede ser generoso e introducir materiales con libertad.

Sobre el memex, a la izquierda existe una pantalla transparente sobre la cual pueden ponerse notas, textos, fotografías, etcétera. La acción de un botón hace que sea fotografiado y almacenado en el siguiente espacio disponible en una sección de la película del memex (aún no se había inventado escáner). Se utilizará la técnica de fotografía en seco. (así se denominaba en ese entonces a la fotocopia).

Si el usuario desea consultar un cierto libro en particular, introduce su código en el teclado, y la cubierta del libro aparece rápidamente ante sus ojos, proyectada en una de sus dos pantallas. Los códigos frecuentemente usados son nemónicos, así que él no consulta a menudo su libro de códigos. El usuario puede agregar a esas páginas notas al margen, comentarios, tal como si tuviera la página real frente a él, sacando ventaja de algún tipo de fotografía en seco, posiblemente con un accesorio tipo pluma.

Memex representa un paso inmediato hacia el archivado de tipo asociativo, cuya idea básica consiste en lograr que cada uno de los elementos seleccione o busque, según nuestra voluntad, a otro elemento de una manera inmediata y automática. Esta constituye la característica esencial del memex; el proceso de enlazar dos elementos distintos entre sí es lo que le otorga su verdadera importancia.

Cuando el usuario está construyendo una pista o sendero de información, le pone un nombre, lo inserta en su libro de códigos y lo teclea, tras lo cual aparecen ante su vista, proyectados en dos posiciones adyacentes en su pantalla, los dos elementos qué desea ligar. Debajo de cada uno de ellos existe un cierto número de espacios vacíos, y un apuntador indica uno de ellos en cada uno de los elementos. El usuario, con pulsar tan sólo una tecla, hace que los dos elementos queden enlazados de manera permanente. En cada uno de los espacios del código aparece la palabra código. 

Observando este aparato imaginado por Bush, se observa claramente la influencia que tuvo en la posterior aparición del hipertexto, la navegación web, los hiperenlaces y los tags.

Podemos resumir que MEMEX era un dispositivo que permitiera la búsqueda de información por medio de la asociación, existiendo una similitud entre el término buscado y el resultado. Sería una casi infinita biblioteca modificable, actualizable y con información asociada. Desde mi punto de vista, me recuerdan a herramientas utilizadas por nosotros tales como Google y la Wikipedia.

Otro artículo escrito por Bush y publicado también en Julio de 1945 fue “La ciencia, una frontera sin fin” con título original “Science, The endless frontier” a instancias del presidente Franklin D. Roosvelt. En él, Bush consideraba que el progreso científico era “una clave esencial de la seguridad de una nación” y que el Gobierno debía ser “el principal agente tecno-científico del país”. Supuso un pacto entre la comunidad científica y la ciudadanía, a la par que un antes y un después para la investigación a nivel mundial. Bush propuso cambiar el modo en el que se financiaban los científicos, siendo hasta la fecha una financiación bajo objetivos, debiendo ser revisados los resultados por el propio Gobierno. Vannevar Bush propuso con este artículo un modelo de financiación sin presiones por parte del Estado, donde los científicos investigarían para mejorar la ciudadanía, teniendo libertad de decisión, no estando obligados a obtener resultados. Serían los propios compañeros científicos e ingenieros los que examinarían sus investigaciones. 

Este método de investigación se instauró en EEUU en 1950, y en poco comenzó a dar sus frutos, distanciando a sus investigadores del resto del mundo. Poco a poco fue replicándose en el resto de países, llegando a España en 1986.